Tỷ lệ vàng là một tỷ lệ được coi là hoàn hảo và hài hòa nhất từ thời cổ đại. Nó là cơ sở của nhiều công trình kiến trúc cổ, từ tượng đến đền thờ, và rất phổ biến trong tự nhiên. Đồng thời, tỷ lệ này được thể hiện trong các cấu trúc toán học thanh lịch đáng ngạc nhiên.
Hướng dẫn
Bước 1
Tỷ lệ vàng được định nghĩa như sau: đó là sự phân chia một phân khúc thành hai phần mà phần nhỏ hơn đề cập đến phần lớn hơn theo cách tương tự như phần lớn hơn đề cập đến toàn bộ phân khúc.
Bước 2
Nếu chiều dài của toàn bộ đoạn được lấy là 1 và độ dài của phần lớn hơn được lấy là x, thì tỷ lệ cần tìm sẽ được biểu thị bằng phương trình:
(1 - x) / x = x / 1.
Nhân cả hai vế của tỉ lệ với x và chuyển các số hạng, ta được phương trình bậc hai:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Bước 3
Phương trình có hai nghiệm thực, trong đó chúng ta đương nhiên chỉ quan tâm đến nghiệm dương. Nó bằng (√5 - 1) / 2, gần bằng 0, 618. Con số này biểu thị tỷ lệ vàng. Trong toán học, nó thường được ký hiệu bằng chữ φ.
Bước 4
Số φ có một số tính chất toán học đáng chú ý. Ví dụ, ngay từ phương trình ban đầu, người ta thấy rằng 1 / φ = φ + 1. Thật vậy, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Bước 5
Một cách khác để tính tỷ lệ vàng là sử dụng phân số vô hạn. Bắt đầu từ bất kỳ x tùy ý nào, bạn có thể xây dựng tuần tự một phân số:
NS
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
Vân vân.
Bước 6
Để thuận tiện cho việc tính toán, phân số này có thể được biểu diễn dưới dạng thủ tục lặp, trong đó để tính bước tiếp theo, bạn cần thêm một vào kết quả của bước trước đó và chia một cho số kết quả. Nói cách khác:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Quá trình này hội tụ và giới hạn của nó là φ + 1.
Bước 7
Nếu chúng ta thay thế phép tính nghịch đảo bằng việc trích xuất căn bậc hai, tức là chúng ta thực hiện một vòng lặp lặp lại:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), thì kết quả sẽ không thay đổi: bất kể x được chọn ban đầu là bao nhiêu, các lần lặp đều hội tụ về giá trị φ + 1.
Bước 8
Về mặt hình học, tỷ lệ vàng có thể được xây dựng bằng cách sử dụng một ngũ giác đều. Nếu chúng ta vẽ hai đường chéo giao nhau trong đó, thì mỗi đường chéo này sẽ chia cho đường kia theo đúng tỷ lệ vàng. Theo truyền thuyết, quan sát này thuộc về Pythagoras, người đã bị sốc trước mô hình tìm thấy đến mức ông coi ngôi sao năm cánh (ngôi sao năm cánh) chính xác là một biểu tượng thiêng liêng thiêng liêng.
Bước 9
Những lý do tại sao nó lại là tỷ lệ vàng mà dường như đối với một người hài hòa nhất vẫn chưa được biết đến. Tuy nhiên, các thí nghiệm đã nhiều lần xác nhận rằng các đối tượng được hướng dẫn chia đoạn thành hai phần không bằng nhau một cách đẹp mắt nhất sẽ làm theo tỷ lệ rất gần với tỷ lệ vàng.
